यदि {Delta _r} = left| {begin{array}{*{20}{c} | vedclass

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Question

(D) हमें सारणिक ${\Delta _r} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} r&{2r - 1}&{3r - 2} \ {\frac{n}{2}}&{n - 1}&a \ {\frac{1}{2}n\left( {n - 1} ight)}&

Vedclass · Accepted Answer

$a$ और $n$ दोनों से स्वतंत्र है

Vedclass · Answer

(D) हमें सारणिक ${\Delta _r} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} r&{2r - 1}&{3r - 2} \ {\frac{n}{2}}&{n - 1}&a \ {\frac{1}{2}n\left( {n - 1} ight)}&{{{\left( {n - 1} ight)}^2}}&{\frac{1}{2}\left( {n - 1} ight)\left( {3n - 4} ight)} \end{array}} ight|$ दिया गया है।हमें $\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {{\Delta _r}} $ की गणना करनी है। चूंकि योग ऑपरेटर सारणिक की पंक्तियों के संबंध में रैखिक है,हम लिख सकते हैं:$\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {{\Delta _r}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} r }&{\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {\left( {2r - 1} ight)} }&{\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {\left( {3r - 2} ight)} } \ {\frac{n}{2}}&{n - 1}&a \ {\frac{1}{2}n\left( {n - 1} ight)}&{{{\left( {n - 1} ight)}^2}}&{\frac{1}{2}\left( {n - 1} ight)\left( {3n - 4} ight)} \end{array}} ight|$.योग की गणना करने पर:$1. \sum\limits_{r = 1}^{n - 1} r = \frac{{\left( {n - 1} ight)n}}{2}$$2. \sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {\left( {2r - 1} ight)} = 2\frac{{\left( {n - 1} ight)n}}{2} - \left( {n - 1} ight) = n(n-1) - (n-1) = {(n-1)^2}$$3. \sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {\left( {3r - 2} ight)} = 3\frac{{\left( {n - 1} ight)n}}{2} - 2(n-1) = \frac{{3n(n-1) - 4(n-1)}}{2} = \frac{{\left( {n - 1} ight)\left( {3n - 4} ight)}}{2}$इन मानों को सारणिक में प्रतिस्थापित करने पर:$\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {{\Delta _r}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{n\left( {n - 1} ight)}}{2}}&{{{\left( {n - 1} ight)}^2}}&{\frac{{\left( {n - 1} ight)\left( {3n - 4} ight)}}{2}} \ {\frac{n}{2}}&{n - 1}&a \ {\frac{{n\left( {n - 1} ight)}}{2}}&{{{\left( {n - 1} ight)}^2}}&{\frac{{\left( {n - 1} ight)\left( {3n - 4} ight)}}{2}} \end{array}} ight|$.चूंकि पहली पंक्ति $(R_1)$ और तीसरी पंक्ति $(R_3)$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।अतः,यह मान $a$ और $n$ दोनों से स्वतंत्र है।

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